AuxiliaryUnitMatrix (n)
Hämta hjälpenhetsmatrisen av storlek n
. Detta är en kvadratisk matris med bara nollor, förutom element i överdiagonalen (i,i+1) som har värdet 1. Det är Jordanblockmatrisen med ett egenvärde som är noll.
Se Planetmath eller Mathworld för mer information om Jordans normalform.
BilinearForm (v,A,w)
Beräkna (v,w) med avseende på den bilinjära formen given av matrisen A.
BilinearFormFunction (A)
Returnera en funktion som beräknar två vektorer med avseende på den bilinjära formen given av A.
CharacteristicPolynomial (M)
Alias: CharPoly
Hämta det karakteristiska polynomet som en vektor. Det vill säga returnera koefficienterna för polynomet med den konstanta termen först. Detta är polynomet som definieras av det(M-xI)
. Rötterna för detta polynom är egenvärdena för M
. Se även CharacteristicPolynomialFunction.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
CharacteristicPolynomialFunction (M)
Hämta det karakteristiska polynomet som en funktion. Detta är polynomet som definieras av det(M-xI)
. Rötterna för detta polynom är egenvärdena för M
. Se även CharacteristicPolynomial.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
ColumnSpace (M)
Hämta en basmatris för kolumnrummet för en matris. Det vill säga returnera en matris vars kolumner är basen för kolumnrummet av M
. Det vill säga rummet som spänns upp av kolumnerna i M
.
Se Wikipedia för mer information.
CommutationMatrix (m, n)
Returnera kommutationsmatrisen K(m,n)
som är den unika m*n
×m*n
-matrisen så att K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')
för alla m
×n
-matriser A
.
CompanionMatrix (p)
Följeslagarmatris av ett polynom (som en vektor).
ConjugateTranspose (M)
Konjugattransponatet av en matris (adjungerad matris). Detta är det samma som .'
-operatorn.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
Convolution (a,b)
Alias: convol
Beräkna faltningen av två horisontella vektorer.
ConvolutionVector (a,b)
Beräkna faltning av två horisontella vektorer. Returnera resultatet som en vektor och inte adderade.
CrossProduct (v,w)
CrossProduct (kryssprodukt) av två vektorer i R3 som en kolumnvektor.
Se Wikipedia för mer information.
DeterminantalDivisorsInteger (M)
Hämta determinantdelarna av en heltalsmatris.
DirectSum (M,N...)
Direkt summa av matriser.
Se Wikipedia för mer information.
DirectSumMatrixVector (v)
Direkt summa av en vektor av matriser.
Se Wikipedia för mer information.
Eigenvalues (M)
Alias: eig
Hämta egenvärdena för en kvadratisk matris. Fungerar för närvarande endast för upp till matriser av storlek upp till 4×4-matriser eller triangulära matriser (för vilka egenvärdena är på diagonalen).
Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.
Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M, &eigenvalues)
Eigenvectors (M, &eigenvalues, &multipliciteter)
Hämta egenvektorerna för en kvadratisk matris. Hämta valfritt även egenvärdena och deras algebraiska multipliciteter. Fungerar för närvarande endast för matriser med storlek upp till 2×2.
Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.
GramSchmidt (v,B...)
Tillämpa Gram-Schmidt-processen (till kolumnerna) med avseende på inre produkten given av B
. Om B
inte angiven används den hermiteska produkten. B
kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en som ger en seskvilinjär form. Vektorerna kommer att göras ortonormala med avseende på B
.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
HankelMatrix (k,r)
Hankelmatris, en matris vars antidiagonaler är konstanta. k
är den första raden och r
är den sista kolumnen. Det antas att båda argumenten är vektorer och att det sista elementet i c
är detsamma som det första elementet i r
.
Se Wikipedia för mer information.
HilbertMatrix (n)
Hilbertmatris av ordning n
.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
Image (T)
Hämta bilden (kolumnrummet) av en linjär avbildning.
Se Wikipedia för mer information.
InfNorm (v)
Hämta supremumnormen av en vektor, även kallad maximinormen eller oändlighetsnormen.
InvariantFactorsInteger (M)
Hämta de invarianta faktorerna för en kvadratisk heltalsmatris.
InverseHilbertMatrix (n)
Invers Hilbertmatris av ordning n
.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
IsHermitian (M)
Är en matris hermitesk. Det vill säga lika med sitt konjugattransponat.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
IsInSubspace (v,W)
Testa om en vektor är i ett underrum.
IsInvertible (n)
Är en matris (eller tal) inverterbar (En heltalsmatris är inverterbar om och endast om den är inverterbar över heltalen).
IsInvertibleField (n)
Är en matris (eller ett tal) inverterbar över en kropp.
IsNormal (M)
Är M
en normal matris. Det vill säga är M*M' == M'*M
.
Se Planetmath eller Mathworld för mer information.
IsPositiveDefinite (M)
Är M
en hermitesk positivt definit matris. Det vill säga om HermitianProduct(M*v,v)
alltid är strikt positiv för varje vektor v
. M
måste vara kvadratisk och hermitesk för att vara positivt definit. Kontrollen som utförs är att varje principal-undermatris har en icke-negativ determinant. (Se HermitianProduct)
Observera att vissa författare (till exempel Mathworld) inte kräver att M
är hermitesk, och då är villkoret på realdelen av den inre produkten, men vi delar inte denna åskådning. Om du vill utföra denna kontroll, se bara på den hermiteska delen av matrisen M
enligt följande: IsPositiveSemidefinite(M+M')
.
Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.
IsPositiveSemidefinite (M)
Är M
en hermitesk positivt semidefinit matris. Det vill säga om HermitianProduct(M*v,v)
alltid är icke-negativ för varje vektor v
. M
måste vara kvadratisk och hermitesk för att vara positivt semidefinit. Kontrollen som utförs är att varje principal-undermatris har en icke-negativ determinant. (Se HermitianProduct)
Observera att vissa författare inte kräver att M
är hermitesk, och då är villkoret på realdelen av den inre produkten, men vi delar inte denna åskådning. Om du vill utföra denna kontroll, se bara på den hermiteska delen av matrisen M
enligt följande: IsPositiveSemidefinite(M+M')
.
Se Planetmath eller Mathworld för mer information.
IsSkewHermitian (M)
Är en matris skevhermitesk. Det vill säga är konjugattransponatet lika med den negativa matrisen.
Se Planetmath för mer information.
IsUnitary (M)
Är en matris unitär? Det vill säga, är M'*M
och M*M'
lika med identiteten.
Se Planetmath eller Mathworld för mer information.
JordanBlock (n,lambda)
Alias: J
Hämta Jordanblocket som motsvarar egenvärdet lambda
med multiplicitet n
.
Se Planetmath eller Mathworld för mer information.
Kernel (T)
Hämta kärnan (nollrummet) av en linjär avbildning.
(Se NullSpace)
KroneckerProduct (M, N)
Alias: TensorProduct
Beräkna Kroneckerprodukten (tensorprodukt i standardbas) av två matriser.
Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.
Version 1.0.18 och framåt.
LUDecomposition (A, L, U)
Hämta LU-faktoriseringen av A
, det vill säga hitta en nedåt triangulär matris och uppåt triangulär matris vilkas produkt är A
. Lagra resultatet i L
och U
som ska vara referenser. Det returnerar true
om det lyckas. Anta till exempel att A är en kvadratisk matris, då kommer du efter att köra:
genius>
LUDecomposition(A,&L,&U)
ha den nedre matrisen lagrad i en variabel som kallas L
och den övre matrisen i en variabel som kallas U
.
Detta är LU-faktoriseringen av en matris, även känd som Crout- och/eller Cholesky-faktorisering. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Den uppåt triangulära matrisen har värdet 1 (ett) på diagonalen. Detta är inte Doolittles metod som har ettorna diagonalt på nedermatrisen.
Alla matriser har inte LU-faktoriseringar, till exempel har [0,1;1,0]
inte det och denna funktion returnerar false
i det fallet och ställer in L
och U
till null
.
Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.
Minor (M,i,j)
Hämta i
-j
-underdeterminanten (minoren) av en matris.
Se Planetmath för mer information.
NonPivotColumns (M)
Returnera kolumnerna som inte är pivotkolumnerna av en matris.
Norm (v,p...)
Alias: norm
Hämta p-normen (eller 2-normen om inget p är angivet) för en vektor.
NullSpace (T)
Hämta nollrummet för en matris. Det vill säga kärnan för den linjära avbildningen som matrisen representerar. Detta returneras som en matris vars kolumnrum är nollrummet av T
.
Se Planetmath för mer information.
Nullity (M)
Alias: nullity
Hämta nulliteten av en matris. Det vill säga returnera nollrummets dimension; dimensionen på kärnan av M
.
Se Planetmath för mer information.
OrthogonalComplement (M)
Hämta det ortogonala komplementet till kolumnrummet.
PivotColumns (M)
Returnera pivotkolumner för en matris, det vill säga kolumner som börjar med 1 i radreducerad trappstegsform, returnerar också raden där de förekommer.
Projection (v,W,B...)
Projicering av vektor v
till underrum W
med avseende på inre produkt given av B
. Om B
ej angiven används den vanliga hermiteska produkten. B
kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en matris som ger en seskvilinjär form.
QRDecomposition (A, Q)
Hämta QR-faktoriseringen av en kvadratisk matris A
, returnerar den uppåt triangulära matrisen R
och ställer in Q
till den ortogonala (unitära) matrisen. Q
bör vara en referens eller null
om de inte vill att något ska returneras. Till exempel:
genius>
R = QRDecomposition(A,&Q)
Du kommer att ha den uppåt triangulära matrisen lagrad i en variabel kallad R
och den ortogonala (unitära) matrisen lagrad i Q
.
Se Wikipedia eller Planetmath eller Mathworld för mer information.
RayleighQuotient (A,x)
Returnera Rayleighkvoten (även kallad Rayleigh-Ritz-kvoten eller förhållandet) av en matris och en vektor.
Se Planetmath för mer information.
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vekref)
Hitta egenvärdena av A
med Rayleighkvot-iterationsmetoden. x
är en gissning av en egenvektor och kan vara slumpmässig. Den ska ha nollskild imaginärdel om den ska ha någon chans att hitta komplexa egenvärden. Koden kommer köras som mest maxiter
iterationer och returnera null
om vi inte kan få ett mindre fel än epsilon
. vekref
ska antingen vara null
eller en referens till en variabel där egenvektorn ska lagras.
Se Planetmath för mer information om Rayleighkvot.
Rank (M)
Alias: rank
Hämta rangen av en matris.
Se Planetmath för mer information.
RosserMatrix ()
Returnerar Rossermatrisen som är ett klassiskt testproblem för symmetriska egenvärden.
Rotation2D (vinkel)
Alias: RotationMatrix
Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R2.
Rotation3DX (vinkel)
Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring x-axeln.
Rotation3DY (vinkel)
Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring y-axeln.
Rotation3DZ (vinkel)
Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring z-axeln.
RowSpace (M)
Hämta en basmatris för radrummet av en matris.
SesquilinearForm (v,A,w)
Beräkna (v,w) med avseende på den seskvilinjära formen given av matrisen A.
SesquilinearFormFunction (A)
Returnera en funktion som beräknar två vektorer med avseende på den seskvilinjära formen given av A.
SmithNormalFormField (A)
Returnerar Smiths normalform för en matris över kroppar (kommer i slutet ha 1:or på diagonalen).
Se Wikipedia för mer information.
SmithNormalFormInteger (M)
Returnerar Smiths normalform för kvadratiska heltalsmatriser över heltal.
Se Wikipedia för mer information.
SolveLinearSystem (M,V,arg...)
Lös det linjära systemet Mx=V, returnera lösningen V om det finns en unik lösning, returnera null
annars. Två extra referensparametrar kan valfritt användas för att få tag i de reducerade M och V.
ToeplitzMatrix (k, r...)
Returnera Toeplitzmatrisen skapad med den första kolumnen k och (valfritt) den första raden r. Om endast kolumnen k anges så konjugeras den och den icke-konjugerade versionen används som den första raden för att ge en hermitesk matris (givetvis om det första elementet är reellt).
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
Trace (M)
Alias: trace
Beräkna spåret av en matris. Det vill säga summan av de diagonala elementen.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
Transpose (M)
Transponatet av en matris. Detta är det samma som .'
-operatorn.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
VandermondeMatrix (v)
Alias: vander
Returnera Vandermondematrisen.
Se Wikipedia för mer information.
VectorAngle (v,w,B...)
Vinkeln av två vektorer med avseende på en inre produkt given av B
. Om B
inte är angiven används den vanliga hermiteska produkten. B
kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en matris som ger en seskvilinjär form.
VectorSpaceDirectSum (M,N)
Den direkta summan av vektorrummen M och N.
VectorSubspaceIntersection (M,N)
Snitt av underrummen angivna av M och N.
VectorSubspaceSum (M,N)
Summan av vektorrummen M och N, det vill säga {w | w=m+n, m i M, n i N}.
adj (m)
Alias: Adjugate
Hämta den klassiska adjunkten (transponatet av kofaktormatrisen) av en matris.
cref (M)
Alias: CREF
ColumnReducedEchelonForm
Beräkna den kolumnreducerade trappstegsformen.
det (M)
Alias: Determinant
Hämta determinanten av en matris.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
ref (M)
Alias: REF
RowEchelonForm
Hämta trappstegsformen av en matris. Det vill säga tillämpa gausselimination men inte bakåtaddition till M
. Pivotraderna divideras så att alla pivoter blir 1.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.
rref (M)
Alias: RREF
ReducedRowEchelonForm
Hämta den radreducerade trappstegsformen av en matris. Det vill säga tillämpa gausselimination tillsammans med bakåtaddition till M
.
Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.