AuxiliaryUnitMatrix (n)
Get the auxiliary unit matrix of size n
. This is a square matrix with that is all zero except the
superdiagonal being all ones. It is the Jordan block matrix of one zero eigenvalue.
See Planetmath or Mathworld for more information on Jordan Canonical Form.
BilinearForm (v,A,w)
Évalue (v,w) par rapport à la forme bilinéaire donnée par la matrice A.
BilinearFormFunction (A)
Renvoie une fonction qui évalue deux vecteurs par rapport à la forme bilinéaire donnée par A.
CharacteristicPolynomial (M)
Alias : CharPoly
Renvoie le polynôme caractéristique d'un vecteur. C'est-à-dire renvoie les coefficients du polynôme en commençant par le terme constant. Ce polynôme est défini par det(M-xI)
. Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de M
. Consultez également CharacteristicPolynomialFunction.
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CharacteristicPolynomialFunction (M)
Renvoie le polynôme caractéristique d'un vecteur sous la forme d'une fonction. Ce polynôme est défini par det(M-xI)
. Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de M
. Consultez également CharacteristicPolynomial.
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ColumnSpace (M)
Renvoie une matrice de base pour le sous-espace vectoriel d'une matrice. C'est-à-dire renvoie une matrice dont les colonnes forment une base pour le sous-espace vectoriel de M
, donc l'espace engendré par les colonnes de M
.
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CommutationMatrix (m, n)
Return the commutation matrix K(m,n)
, which is the unique m*n
by
m*n
matrix such that K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')
for all m
by n
matrices A
.
CompanionMatrix (p)
Matrice compagnon d'un polynôme (comme vecteur).
ConjugateTranspose (M)
Transposée conjuguée d'une matrice (matrice adjointe). Identique à l'opérateur '
.
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Convolution (a,b)
Alias : convol
Calcule la convolution de deux vecteurs horizontaux.
ConvolutionVector (a,b)
Calcule la convolution de deux vecteurs horizontaux. Renvoie le résultat sous la forme d'un vecteur dont les composants ne sont pas additionnées ensemble.
CrossProduct (v,w)
Produit vectoriel de deux vecteurs dans R3 sous la forme d'un vecteur colonne.
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DeterminantalDivisorsInteger (M)
Get the determinantal divisors of an integer matrix.
DirectSum (M,N...)
Somme directe de matrices.
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DirectSumMatrixVector (v)
Somme directe d'un vecteur de matrices.
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Eigenvalues (M)
Alias : eig
Renvoie les valeurs propres d'une matrice carrée. Ne fonctionne actuellement que pour les matrices de taille inférieure ou égale à 4 par 4 ou pour les matrices triangulaires (pour lesquelles les valeurs propres sont sur la diagonale).
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Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M, &valeurspropres)
Eigenvectors (M, &valeurpropres, &multiplicités)
Renvoie les vecteurs propres d'une matrice carrée. Il est possible en option d'obtenir les valeurs propres ainsi que leur multiplicité algébrique. Ne fonctionne actuellement que pour les matrices 2x2.
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GramSchmidt (v,B...)
Applique le procédé de Gram-Schmidt (aux colonnes) par rapport au produit scalaire donné par B
. Si B
n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. B
peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire. Les vecteurs seront orthogonaux par rapport à B
.
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HankelMatrix (c,r)
Hankel matrix, a matrix whose skew-diagonals are constant. c
is the first row and r
is the
last column. It is assumed that both arguments are vectors and the last element of c
is the same
as the first element of r
.
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HilbertMatrix (n)
Matrice de Hilbert d'ordre n
.
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Image (T)
Renvoie l'image (espace vectoriel engendré par les colonnes) d'une transformation linéaire.
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InfNorm (v)
Renvoie la norme « infini », appelée aussi norme sup, ou encore norme de la convergence uniforme.
InvariantFactorsInteger (M)
Get the invariant factors of a square integer matrix.
InverseHilbertMatrix (n)
Matrice inverse de Hilbert d'ordre n
.
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IsHermitian (M)
Indique si une matrice est hermitienne. C'est-à-dire si elle est égale à sa transposée conjuguée.
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IsInSubspace (v,W)
Teste si un vecteur appartient à un sous-espace.
IsInvertible (n)
Is a matrix (or number) invertible (Integer matrix is invertible if and only if it is invertible over the integers).
IsInvertibleField (n)
Indique si une matrice (ou un nombre) est inversible sur un corps.
IsNormal (M)
Indique si M
est une matrice normale, c'est-à-dire M*M' == M'*M
.
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IsPositiveDefinite (M)
Indique si M
est une matrice hermitienne définie positive. C'est-à-dire si HermitianProduct(M*v,v)
est toujours strictement positif pour tout vecteur v
. M
doit être carré et hermitienne pour être définie positive. Le contrôle effectué est que le déterminant de chaque sous-matrice principale n'est pas négatif (consultez HermitianProduct).
Notez que certains auteurs (par exemple Mathworld) n'exigent pas que M
soit hermitienne, ainsi la condition porte sur la partie réelle du produit scalaire mais ce n'est pas le cas de Genius. Si vous souhaitez réaliser ce type de contrôle, vérifiez seulement la partie hermitienne de la matrice M
comme ceci : IsPositiveDefinite(M+M')
.
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IsPositiveSemidefinite (M)
Indique si M
est une matrice hermitienne semi-définie positive. C'est-à-dire si HermitianProduct(M*v,v)
est toujours non négatif pour tout vecteur v
. M
doit être carré et hermitienne pour être semi-définie positive. Le contrôle effectué est que le déterminant de chaque sous-matrice principale n'est pas négatif (consultez HermitianProduct).
Notez que certains auteurs n'exigent pas que M
soit hermitienne, ainsi la condition porte sur la partie réelle du produit scalaire mais ce n'est pas le cas de Genius. Si vous souhaitez réaliser ce type de contrôle, vérifiez seulement la partie hermitienne de la matrice M
comme ceci : IsPositiveSemiDefinite(M+M')
.
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IsSkewHermitian (M)
Indique si une matrice est anti-hermitienne. C'est-à-dire si sa transposée conjuguée est égale à l'opposée de la matrice.
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IsUnitary (M)
Indique si une matrice est unitaire. C'est-à-dire si M'*M
et M*M'
sont égaux à l'identité.
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JordanBlock (n,lambda)
Alias : J
Renvoie le bloc de Jordan correspondant à la valeur propre lambda
de multiplicité n
.
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Kernel (T)
Renvoie le noyau d'une transformation linéaire.
(consultez NullSpace)
KroneckerProduct (M, N)
Aliases: TensorProduct
Compute the Kronecker product (tensor product in standard basis) of two matrices.
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Version 1.0.18 onwards.
LUDecomposition (A, L, U)
Get the LU decomposition of A
, that is
find a lower triangular matrix and upper triangular
matrix whose product is A
.
Store the result in the L
and
U
, which should be references. It returns true
if successful.
For example suppose that A is a square matrix, then after running:
genius>
LUDecomposition(A,&L,&U)
You will have the lower matrix stored in a variable called
L
and the upper matrix in a variable called
U
.
This is the LU decomposition of a matrix aka Crout and/or Cholesky reduction. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) The upper triangular matrix features a diagonal of values 1 (one). This is not Doolittle's Method, which features the 1's diagonal on the lower matrix.
Toutes les matrices ne possèdent pas de décomposition LU, par exemple [0,1;1,0]
n'en a pas. Dans ce cas, cette fonction renvoie false
(faux) et initialise L
et U
à null
.
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Minor (M,i,j)
Renvoie le mineur i
-j
d'une matrice.
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NonPivotColumns (M)
Renvoie les colonnes qui ne sont pas les colonnes pivot d'une matrice.
Norm (v,p...)
Alias : norm
Renvoie la norme-p d'un vecteur (ou norme-2 si p n'est pas fourni).
NullSpace (T)
Renvoie le noyau d'une matrice. C'est-à-dire le noyau de l'application linéaire que la matrice représente sous la forme d'une matrice dont l'espace des colonnes est le noyau de T
.
See Planetmath for more information.
Nullity (M)
Alias : nullity
Renvoie la dimension du noyau de la matrice M
.
See Planetmath for more information.
OrthogonalComplement (M)
Renvoie le complément orthogonal de l'espace des colonnes.
PivotColumns (M)
Return pivot columns of a matrix, that is columns that have a leading 1 in row reduced form. Also returns the row where they occur.
Projection (v,W,B...)
Projection du vecteur v
sur le sous-espace W
par rapport au produit scalaire donné par B
. Si B
n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. B
peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire.
QRDecomposition (A, Q)
Calcule la décomposition QR d'une matrice carrée A
, renvoie la matrice triangulaire supérieure R
et définit Q
comme la matrice orthogonale (unitaire). Q
doit être une référence. Si vous ne voulez pas qu'elle soit renvoyée, utilisez null
. Par exemple :
genius>
R = QRDecomposition(A,&Q)
Vous obtenez la matrice supérieure dans une variable appelée R
et la matrice orthogonale (unitaire) dans Q
.
See Wikipedia or Planetmath or Mathworld for more information.
RayleighQuotient (A,x)
Renvoie le quotient de Rayleigh (aussi appelé le quotient ou rapport de Rayleigh-Ritz) d'une matrice et d'un vecteur.
See Planetmath for more information.
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)
Cherche les valeurs propres de A
en utilisant la méthode itérative du quotient de Rayleigh. x
est une valeur initiale estimée pour un vecteur propre et peut être tirée au hasard. Si vous voulez avoir une chance de trouver des valeurs propres complexes, la partie imaginaire ne doit pas être nulle. Le programme effectue au maximum maxiter
itérations et renvoie null
s'il ne peut trouver une solution avec une précision inférieure à epsilon
. vecref
doit être soit null
ou une référence à une variable dans laquelle le vecteur propre est enregistré.
See Planetmath for more information on Rayleigh quotient.
Rank (M)
Alias : rank
Renvoie le rang d'une matrice.
See Planetmath for more information.
RosserMatrix ()
Returns the Rosser matrix, which is a classic symmetric eigenvalue test problem.
Rotation2D (angle)
Alias : RotationMatrix
Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R2.
Rotation3DX (angle)
Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des x.
Rotation3DY (angle)
Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des y.
Rotation3DZ (angle)
Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des z.
RowSpace (M)
Renvoie une matrice de base pour l'espace vectoriel engendré par les lignes d'une matrice.
SesquilinearForm (v,A,w)
Évalue (v, w) par rapport à la forme sesquilinéaire donnée par la matrice A.
SesquilinearFormFunction (A)
Renvoie une fonction qui évalue deux vecteurs par rapport à la forme sesquilinéaire donnée par A.
SmithNormalFormField (A)
Returns the Smith normal form of a matrix over fields (will end up with 1's on the diagonal).
See Wikipedia for more information.
SmithNormalFormInteger (M)
Return the Smith normal form for square integer matrices over integers.
See Wikipedia for more information.
SolveLinearSystem (M,V,params...)
Résout le système linéaire Mx=V, renvoie V s'il y a une solution unique ou null
sinon. Deux références d'arguments supplémentaires peuvent être utilisés pour recevoir les réductions de M et V.
ToeplitzMatrix (c, r...)
Renvoie la matrice de Toeplitz construite à partir de la première colonne c et (éventuellement) de la première ligne r. Si seule la colonne c est fournie alors elle est conjuguée et la version non conjuguée est utilisée pour la première ligne pour fournir une matrice hermitienne (si le premier élément est réel bien sûr).
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Trace (M)
Alias : trace
Calcule la trace d'une matrice, c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Transpose (M)
Matrice transposée. C'est identique à l'opérateur .'
See Wikipedia or Planetmath for more information.
VandermondeMatrix (v)
Alias : vander
Renvoie la matrice de Vandermonde.
See Wikipedia for more information.
VectorAngle (v,w,B...)
L'angle entre deux vecteurs par rapport au produit scalaire donné par B
. Si B
n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. B
peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire.
VectorSpaceDirectSum (M,N)
Somme directe des espaces vectoriels M et N.
VectorSubspaceIntersection (M,N)
Intersection des sous-espaces donnés par M et N.
VectorSubspaceSum (M,N)
Somme des espaces vectoriels M et N, c'est-à-dire {w | w=m+n, m dans M, n dans N}.
adj (m)
Alias : Adjugate
Renvoie la matrice adjointe d'une matrice.
cref (M)
Alias : CREF
ColumnReducedEchelonForm
Calcule la forme échelonnée réduite en colonnes.
det (M)
Alias : Determinant
Renvoie le déterminant d'une matrice.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
ref (M)
Alias : REF
RowEchelonForm
Renvoie la matrice échelonnée en lignes (row echelon) d'une matrice. C'est-à-dire effectue une élimination de Gauss de M
. Les lignes de pivot sont divisées pour que tous les pivots soient égaux à 1.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
rref (M)
Alias : RREF
ReducedRowEchelonForm
Renvoie la matrice échelonnée réduite en lignes (reduced row echelon) d'une matrice. C'est-à-dire effectue une élimination de Gauss-Jordan de M
.
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