AuxiliaryUnitMatrix (n)
Získat pomocnou jednotkovou matici velikosti n
. Jde o čtvercovou matici ze samých nul vyjma diagonály, na které jsou jedničky. Je to Jordanův blok s jedním vlastním číslem nula.
Více informací o Jordanově kanonické formě najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.
BilinearForm (v,A,w)
Spočítat (v,w) vzhledem k bilineární formě dané maticí A.
BilinearFormFunction (A)
Vrátit funkci takovou, že vyhodnocuje dva vektory vzhledem k bilineární formě dané maticí A.
CharacteristicPolynomial (M)
Alternativní názvy: CharPoly
Získat charakteristický polynom v podobě vektoru. Konkrétně vrací koeficienty polynomu počínaje konstantním členem. Jedná se o polynom definovaný pomocí det(M-xI)
. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice M
. Viz CharacteristicPolynomialFunction.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v anličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
CharacteristicPolynomialFunction (M)
Získat charakteristický polynom v podobě funkce. Jedná se o polynom definovaný pomocí det(M-xI)
. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice M
. Viz CharacteristicPolynomial.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v anličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
ColumnSpace (M)
Získat bázi matice pro prostor sloupců matice. Prakticky se vrátí matice, jejíž sloupce jsou bázemi pro prostor sloupců matice M
. To je prostor rozložený podle sloupců matice M
.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).
CommutationMatrix (m, n)
Vrátit komutační matici K(m,n)
, což je jedinečná matice velikosti m*n
krát m*n
, která splňuje K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')
pro všechny matice A
velikosti m
krát n
.
CompanionMatrix (p)
Doplňková matice polynomu (jako vektor).
ConjugateTranspose (M)
Konjugovaná transpozice matice (adjungovaná). Je to stejné jako operátor '
.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
Convolution (a,b)
Alternativní názvy: convol
Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů.
ConvolutionVector (a,b)
Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů. Výsledek vrátí jako vektor a ne sečtené dohromady.
CrossProduct (v,w)
Vektorový součin dvou vektorů v R3 jako sloupcový vektor.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.
DeterminantalDivisorsInteger (M)
Získat determinantové dělitele celočíselné matice.
DirectSum (M,N...)
Přímý součet matic.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.
DirectSumMatrixVector (v)
Přímý součet vektoru matic.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.
Eigenvalues (M)
Alternativní názvy: eig
Získat vlastní čísla čtvercové matice. V současnosti pracuje pouze pro matice do velikosti 4 krát 4 nebo pro trojúhelníkové matice (pro které jsou vlastní čísla na diagonále).
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M,&vlastni_cisla)
Eigenvectors (M, &vlastni_cisla, &nasobnosti)
Získat vlastní vektory čtvercové matice. Volitelně získat také vlastní čísla a jejich algebraické násobnosti. V současnosti pracuje pouze s maticemi do velikosti 2 krát 2.
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
GramSchmidt (v,B...)
Použít Gramův-Schmidtův proces (na sloupce) vzhledem k unitárnímu prostoru danému B
. Pokud B
není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B
může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě. Vektory budou vytvořeny ortogonální vzhledem k B
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia.
HankelMatrix (c,r)
Henkelova matice, což je matice se stejnými vedlejšími diagonálami. c
je první řádek a r
je poslední sloupec. Předpokládá se, že oba argumenty budou vektory a poslední prvek c
bude stejný jako první prvek r
.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).
HilbertMatrix (n)
Hilbertova matice řádu n
.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
Image (T)
Získat obraz (sloupcový prostor) lineární transformace.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).
InfNorm (v)
Získat k vektoru normu typu nekonečno, někdy také nazývanou maximální norma.
InvariantFactorsInteger (M)
Získat invariantní činitele čtvercové celočíselné matice.
InverseHilbertMatrix (n)
Inverzní Hilbertova matice řádu n
.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
IsHermitian (M)
Je matice hermitovská? Tj. zda je rovna své konjugované transpozici.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia (text je v angličtině).
IsInSubspace (v,W)
Zjistit, zda je vektor v podprostoru.
IsInvertible (n)
Je matice (nebo číslo) invertovatelná (matice celých čísel je invertovatelná, když je invertovatelná nad celými čísly)?
IsInvertibleField (n)
Je matice (nebo číslo) invertovatelná nad tělesem.
IsNormal (M)
Je M
normální matice. To jest, zda M*M' == M'*M
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).
IsPositiveDefinite (M)
Je matice M
hermitovská pozitivně definitní matice? To znamená, zda je HermitianProduct(M*v,v)
vždy striktně pozitivní pro libovolný vektor v
. M
musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně definitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)
Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice M
byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice M
takto: IsPositiveDefinite(M+M')
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
IsPositiveSemidefinite (M)
Je matice M
hermitovská pozitivně semidefinitní matice? To znamená, zda je HermitianProduct(M*v,v)
vždy nezáporná pro libovolný vektor v
. M
musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně semidefinitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)
Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice M
byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice M
takto: IsPositiveSemidefinite(M+M')
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).
IsSkewHermitian (M)
Je matice antihermitovská? To znamená, zda je konjugovaná transpozice rovna negativní matici.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
IsUnitary (M)
Je matice unitární? To je, zda M'*M
a M*M'
dají stejnou jednotkovou matici.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.
JordanBlock (n,lambda)
Alternativní názvy: J
Získat Jordanův blok odpovídající vlastnímu číslu lambda
s násobností n
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
Kernel (T)
Získat jádro (nulový prostor) lineární transformace.
(Viz NullSpace)
KroneckerProduct (M, N)
Alternativní názvy: TensorProduct
Spočítat Kroneckerův součin (tenzorový součin ve standardní bázi) dvou matic.
See Wikipedia, Planetmath or Mathworld for more information.
Verze 1.0.18 a novější.
LUDecomposition (A, L, U)
Získat LU rozklad matice A
tak, že se najde dolní a horní trojúhelníková matice, jejichž součinem je A
. Výsledek se uloží v L
a U
, což by měly být odkazy na proměnné. V případě úspěchu vrací true
. Například předpokládejme, že A je čtvercová matice, pak po spuštění:
genius>
LUDecomposition(A,&L,&U)
budete mít dolní matici uloženou v proměnné s názvem L
a horní matici v proměnné s názvem U
.
Jedná se o LU rozklad matice známý také jako Croutův a/nebo Choleského rozklad. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Horní trojúhelníková matice zahrnuje diagonálu hodnot 1. Nejedná se o Doolittlovu metodu, která zahrnuje diagonálu jedniček do dolní matice.
Ne všechny matice mají LU rozklad, například [0,1;1,0]
jej nemá a tato funkce v takovém případě vrátí false
a nastaví L
a U
na null
.
See Wikipedia, Planetmath or Mathworld for more information.
Minor (M,i,j)
Získat subdeterminant (též minor) i
-j
matice.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath.
NonPivotColumns (M)
Vrátit sloupce matice, které nemají pivot.
Norm (v,p...)
Alternativní názvy: norm
Získat normu typu p (nebo typu 2, pokud není zadáno p) vektoru.
NullSpace (T)
Získat nulový prostor matice. Tj. jádro lineární transformace, která matici představuje. Výsledek se vrací v podobě matice, jejíž sloupcový prostor je nulovým prostorem z T
.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
Nullity (M)
Alternativní názvy: nullity
Získat nulovost matice. Tzn. vrátit rozměry nulového prostoru; rozměry jádra matice M
.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
OrthogonalComplement (M)
Získat ortogonální doplněk sloupcového prostoru.
PivotColumns (M)
Vrátit sloupce matice s pivoty, tzn. sloupce, které mají 1 v řádkově redukované podobě. Rovněž vrací řádek, ve kterém se vyskytly.
Projection (v,W,B...)
Projekce vektoru v
do podprostoru W
vzhledem k unitárnímu prostoru danému B
. Pokud B
není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B
může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.
QRDecomposition (A, Q)
Získat QR rozklad čtvercové matice A
, vrací horní trojúhelníkovou matici R
a nastavuje Q
na ortogonální (unitární) matici. Q
by měl být odkaz na proměnnou nebo null
, pokud nic vrátit nechcete. Například pro
genius>
R = QRDecomposition(A,&Q)
budete mít horní trojúhelníkovou matici uloženou v proměnné s názvem R
a ortogonální (unitární) matici v Q
.
See Wikipedia or Planetmath or Mathworld for more information.
RayleighQuotient (A,x)
Vrátit Rayleighův podíl (nazývaný také Rayleighův-Ritzův koeficient nebo podíl) matice a vektoru.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)
Najít vlastní čísla matice A
pomocí iterační metody Rayleighova podílu. x
je odhadovaný vlastní vektor a mohl by být náhodný. Měl by mít nenulovou imaginární část, pokud existuje nějaká možnost, že budou nalezena komplexní vlastní čísla. Kód bude nanejvýše v maxiter
iteracích a vracet null
, pokud není možné získat výsledek v rámci chyby epsilon
. vecref
by měl být buď null
nebo odkaz na proměnnou, do které by se měl uložit vlastní vektor.
Více informací o Rayleighově podíle najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
Rank (M)
Alternativní názvy: rank
Získat hodnost matice.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
RosserMatrix ()
Vrátit Rosserovu matici, která je klasickým symetrickým problémem testu vlastního čísla.
Rotation2D (úhel)
Alternativní názvy: RotationMatrix
Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R2.
Rotation3DX (úhel)
Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy x.
Rotation3DY (úhel)
Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy y.
Rotation3DZ (úhel)
Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy z.
RowSpace (M)
Získat bázi matice pro prostor řádků matice.
SesquilinearForm (v,A,w)
Vyhodnotit (v,w) vzhledem k polybilineární formě dané maticí A
.
SesquilinearFormFunction (A)
Vrátit funkci vyhodnocující dva vektory vzhledem k polybilineární formě dané maticí A
.
SmithNormalFormField (A)
Vrátit Smithův kanonický tvar (normální forma) matice nad poli (bude končit s jedničkami na diagonále).
See Wikipedia for more information.
SmithNormalFormInteger (M)
Vrátit Smithův kanonický tvar (normální formu) pro čtvercové celočíselné matice nad celými čísly.
See Wikipedia for more information.
SolveLinearSystem (M,V,argumenty...)
Vyřešit lineární systém Mx=V, vrátit řešení V, pokud existuje jedinečné řešení, jinak vrátit null
. Je možné použít dva dodatečné parametry předávané odkazem, ve kterých získáte redukované M a V.
ToeplitzMatrix (s, r...)
Vrátit Teplitzovu matici sestavenou podle zadaného prvního sloupce c
a (volitelně) prvního řádku r
. Pokud je zadán pouze sloupec c
, je pro první řádek použita konjugovaná a nekonjugovaná verze, aby se získala hermitovská matice (samozřejmě za předpokladu, že je první prvek reálný).
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Trace (M)
Alternativní názvy: trace
Spočítat stopu matice. Jedná se o součet prvků na hlavní diagonále čtvercové matice.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Transpose (M)
Transponovat matici. Funkčně je to stejné, jako operátor .'
.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
VandermondeMatrix (v)
Alternativní názvy: vander
Vrátit Vandermondovu matici.
See Wikipedia for more information.
VectorAngle (v,w,B...)
Úhel dvou vektorů vzhledem k unitárnímu prostoru daného B
. Pokud B
není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B
může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.
VectorSpaceDirectSum (M,N)
Přímý součet vektorových prostorů M a N.
VectorSubspaceIntersection (M,N)
Průnik podprostorů daných pomocí M a N
VectorSubspaceSum (M,N)
Součet vektorových prostorů M a N, tj. {w | w=m+n, m in M, n in N}.
adj (m)
Alternativní názvy: Adjugate
Získat adjungovanou (reciproku) matici.
cref (M)
Alternativní názvy: CREF
ColumnReducedEchelonForm
Spočítat sloupcově odstupňovaný tvar matice.
det (M)
Alternativní názvy: Determinant
Získat determinant matice.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
ref (M)
Alternativní názvy: REF
RowEchelonForm
Získat řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci, ale bez zpětného dosazování do M
. Nenulové řádky jsou poděleny, aby všechny pivoty byly 1.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
rref (M)
Alternativní názvy: RREF
ReducedRowEchelonForm
Získat redukovaný řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci se zpětným dosazováním do M
.
See Wikipedia or Planetmath for more information.