AreRelativelyPrime (a,b)
Jsou reálná celá čísla a
a b
nesoudělná? Vrací true
nebo false
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
BernoulliNumber (n)
Vrátit n
-té Bernoulliho číslo.
ChineseRemainder (a,m)
Alternativní názvy: CRT
Najít pomocí čínské věty o zbytcích x
, které řeší systém zadaný vektorem a
, a zbytky prvků m
.
See Wikipedia or Planetmath or Mathworld for more information.
CombineFactorizations (a,b)
Jsou-li dány dva rozklady, vrátit rozklad (faktorizaci) součinu.
Viz Factorize.
ConvertFromBase (v,b)
Převést vektor hodnot udávajících mocniny b
na číslo.
ConvertToBase (n,b)
Převést číslo na vektor mocnin prvků o základu b
.
DiscreteLog (n,b,q)
Najít diskrétní logaritmus n
o základu b
v Fq, konečné grupě řádu q
, kde q
je prvočíslo, pomocí Silverova-Pohligova-Hellmanova algoritmu.
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
Divides (m,n)
Zkontrolovat dělitelnost (zda m
dělí n
).
EulerPhi (n)
Spočítat Eulerovu funkci fí pro n
, to je počet celých čísel mezi 1 a n
, relativně prvočíselných vůči n
.
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
ExactDivision (n,d)
Vrátit n/d
, ale jen pokud d
dělí n
. Pokud d
nedělí n
, vrací funkce nesmysly. Pro velmi velká čísla je to rychlejší než operace n/d
, ale je to samozřejmě použitelné jen v případě, kdy přesně víte, co dělíte.
Factorize (n)
Vrátit rozklad (faktorizaci) čísla jako matici. První řádek jsou prvočísla v rozkladu (včetně 1) a druhý řádek jsou mocnitelé. Takže například
genius>
Factorize(11*11*13)
= [1 11 13 1 2 1]
See Wikipedia for more information.
Factors (n)
Vrátit všechny činitele čísla n
jako vektor. Součástí jsou i neprvočíselní činitelé, což zahrnuje také 1 a přímo ono číslo. Takže například pro výpis všech dokonalých čísel (to jsou taková, která jsou součtem všech svých činitelů) až do 1000 můžete udělat toto (je to však značně neefektivní)
for n=1 to 1000 do ( if MatrixSum (Factors(n)) == 2*n then print(n) )
FermatFactorization (n,pokusy)
Zkusit Fermatův rozklad n
na (t-s)*(t+s)
. Pokud to je možné, vrací t
a s
jako vektor, jinak vrací null
. Argument pokusy
určuje počet pokusu, než se výpočet vzdá.
Jedná se o docela dobrý rozklad za předpokladu, že je vaše číslo součinem dvou přibližně stejně velkých čísel.
See Wikipedia for more information.
FindPrimitiveElementMod (q)
Najít první primitivní prvek v Fq, konečné grupě řádu q
. Je samozřejmé, že q
musí být prvočíslo.
FindRandomPrimitiveElementMod (q)
Najít náhodný primitivní prvek v Fq, konečné grupě řádu q
. Je samozřejmé, že q
musí být prvočíslo.
IndexCalculus (n,b,q,S)
Spočítat diskrétní logaritmus n
o základu b
v Fq, konečné grupě řádu q
(q
prvočíslo) pomocí faktorizační báze S
. S
by měl být sloupec prvočísel, pokud možno s druhým sloupcem předpočítaným pomocí IndexCalculusPrecalculation
.
IndexCalculusPrecalculation (b,q,S)
Provést přípravný krok výpočtu funkce IndexCalculus
pro logaritmy o základu b
v Fq, konečné grupě řádu q
(q
prvočíslo), pro faktorizační bázi S
(kde S
je sloupcový vektor prvočísel). Logaritmy budou předpočítány a vráceny v druhém sloupci.
IsEven (n)
Otestovat, zda je celé číslo sudé.
IsMersennePrimeExponent (p)
Zjistit, jestli je kladné celé číslo p
Mersennovo prvočíslo. Tj. zda 2p-1 je prvočíslo. Provádí se to hledáním v tabulce známých hodnot, která je relativně krátká. Viz také MersennePrimeExponents a LucasLehmer.
See Wikipedia, Planetmath, Mathworld or GIMPS for more information.
IsNthPower (m,n)
Zjistit, jestli je racionální číslo m
perfektní n
-tou mocninou . Viz také IsPerfectPower a IsPerfectSquare.
IsOdd (n)
Otestovat, zda je celé číslo liché.
IsPerfectPower (n)
Zkontrolovat, zda je celé číslo perfekntí mocninou ab.
IsPerfectSquare (n)
Check an integer for being a perfect square of an integer. The number must be an integer. Negative integers are of course never perfect squares of integers.
IsPrime (n)
Testuje prvočíselnost celých čísel, pro čísla menší než 2.5e10 je odpověď deterministická (tedy pokud je Riemannova hypotéza platná). Pro větší čísla závisí falešné kladné odpovědi na IsPrimeMillerRabinReps
. Což znamená, že pravděpodobnost nesprávné kladné odpovědi je ¼ umocněná na IsPrimeMillerRabinReps
. Výchozí hodnota 22 dává pravděpodobnost zhruba 5.7e-14.
Když je vráceno false
, můžete si být jisti, že se jedná o složené číslo. Jestliže si potřebujete být absolutně jistí, že máte prvočíslo, můžete použít funkci MillerRabinTestSure
, ale může to trvat trochu déle.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
IsPrimitiveMod (g,q)
Zkontrolovat, zda je g
primitivní v Fq, konečné grupě řádu q
, kde q
je prvočíslo. Pokud q
není prvočíslo, jsou výsledky nesmyslné.
IsPrimitiveModWithPrimeFactors (g,q,f)
Zkontrolovat, zda je g
primitivní v Fq, konečné grupě řádu q
, kde q
je prvočíslo a f
je vektor prvočíselných činitelů q
-1. Pokud q
není prvočíslo, jsou výsledky nesmyslné.
IsPseudoprime (n,b)
Zda je n
pseudoprvočíslo o základu b
, ale ne prvočíslo, tj. jestli b^(n-1) == 1 mod n
. Volá se funkce PseudoprimeTest
.
IsStrongPseudoprime (n,b)
Zjistit, zda je n
silné pseudoprvočíslo o základu b
, ale ne prvočíslo.
Jacobi (a,b)
Alternativní názvy: JacobiSymbol
Spočítat Jacobiho symbol (a/b) (b by mělo být liché).
JacobiKronecker (a,b)
Alternativní názvy: JacobiKroneckerSymbol
Spočítat Jacobiho symbol (a/b) s Kroneckerovým rozšířením (a/2)=(2/a), když a
je liché, nebo (a/2)=0, když a
je sudé.
LeastAbsoluteResidue (a,n)
Vrátit zbytek a
mod n
s nejmenší absolutní hodnotou (v intervalu -n/2 až n/2).
Legendre (a,p)
Alternativní názvy: LegendreSymbol
Spočítat Legendrův symbol (a/p).
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
LucasLehmer (p)
Zjistit pomocí Lucasova-Lehmerova testu, zda je 2p-1 Mersennovo prvočíslo. Viz také MersennePrimeExponents a IsMersennePrimeExponent.
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
LucasNumber (n)
Vrátit n
-té Lucasovo číslo.
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
MaximalPrimePowerFactors (n)
Vrátit všechny maximální mocniny prvočísel v rozkladu čísla.
MersennePrimeExponents
Vektor se známými exponenty Mersennových prvočísel, což je seznam kladných celých čísel p
takových, že 2p-1 je prvočíslo. Viz také IsMersennePrimeExponent a LucasLehmer.
See Wikipedia, Planetmath, Mathworld or GIMPS for more information.
MillerRabinTest (n,opak)
Použít Millerův-Rabinův test prvočíselnosti na n
, opak
udává kolikrát. Pravděpodobnost falešné kladné odpovědi je (1/4)^opak
. Pravděpodobně je obvykle lepší použít funkci IsPrime
, protože je rychlejší a lepší u menších celých čísel.
See Wikipedia or Planetmath or Mathworld for more information.
MillerRabinTestSure (n)
Použít Millerův-Rabinův test prvočíselnosti na n
s tolika bázemi, že za předpokladu zobecněné Riemannovy hypotézy je výsledek deterministický.
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
ModInvert (n,m)
Vrátit převrácenou hodnotu n mod m.
Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).
MoebiusMu (n)
Vrátit Möbiovu funkci μ vyhodnocenu na n
. Což znamená, že vrátí 0 v případě, že n
není součin různých prvočísel, a (-1)^k
v případě, že je součin k
různých prvočísel.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
NextPrime (n)
Vrátit nejmenší prvočíslo větší než n
. Záporná prvočísla jsou považována za prvočísla, takže předchozí prvočíslo můžete získat jako -NextPrime(-n)
.
Tato funkce používá funkci mpz_nextprime
z knihovny GMP, která zase používá pravděpodobnostní Millerův-Rabinův test (viz také MillerRabinTest
). Pravděpodobnost falešné kladné odpovědi není nastavitelná, ale je dostatečně malá pro praktické účely.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
PadicValuation (n,p)
Vrátit p-adické ohodnocení (počet koncových nul v základu p
).
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
PowerMod (a,b,m)
Spočítat a^b mod m
. b
-tá mocnina čísla a
modulo m
. Tuto funkci není nutné používat, protože se automaticky použije v režimu modulární aritmetiky. Z tohoto důvodu je a^b mod m
stejně rychlé.
Prime (n)
Alternativní názvy: prime
Vrátit n
-té prvočíslo (až do limitu).
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
PrimeFactors (n)
Vrátit v podobě vektoru všechny prvočinitele čísla.
Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia (text je v angličtině).
PseudoprimeTest (n,b)
Test pseudoprvočíselnosti, vrací true
když a jen když b^(n-1) == 1 mod n
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
RemoveFactor (n,m)
Odstranit všechny instance činitele m
z čísla n
. Prakticky to znamená, že je poděleno nejvyšší mocninou čísla m
, která je dělitelem n
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
SilverPohligHellmanWithFactorization (n,b,q,f)
Najít diskrétní logaritmus n
o základu b
v Fq, konečné grupě řádu q
, kde q
je prvočíslo, pomocí Silverova-Pohligova-Hellmanova algoritmu, dané f
je rozkladem q
-1.
SqrtModPrime (n,p)
Najít druhou odmocninu z n
modulo p
(kde p
je prvočíslo). Pokud není kvadratickým zbytkem, je vráceno null.
Více informací najdete v encyklopedicíh Planetmath (text je v angličtině) a Mathworld (text je v angličtině).
StrongPseudoprimeTest (n,b)
Spustit silný test pseudoprvočíselnosti o základu b
na n
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia (text je v angličtině).
gcd (a,argumenty...)
Alternativní názvy: GCD
Největší společný dělitel celých čísel. V seznamu argumentů můžete uvést libovolný počet celých čísel, nebo je můžete zadat jako vektor nebo matici celých čísel. Pokud zadáte více než jednu matici stejné velikosti, bude největší společný dělitel určen prvek po prvku.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
lcm (a,argumenty...)
Alternativní názvy: LCM
Nejmenší společný násobek celých čísel. V seznamu argumentů můžete uvést libovolný počet celých čísel, nebo je můžete zadat jako vektor nebo matici celých čísel. Pokud zadáte více než jednu matici stejné velikosti, bude nejmenší společný násobek určen prvek po prvku.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.