Γραμμική Άλγεβρα

AuxiliaryUnitMatrix
AuxiliaryUnitMatrix (n)

Δίνει τον βοηθητικό μοναδιαίο πίνακα μεγέθους n. Αυτός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με όλα μηδέν εκτός από την υπερδιαγώνιο που είναι όλα 1. Είναι ο σύνθετος πίνακας Jordan με ιδιοτιμή ενός μηδενικού.

See Planetmath or Mathworld for more information on Jordan Canonical Form.

BilinearForm
BilinearForm (v,A,w)

Υπολογίζει (v,w) ως προς τη διγραμμική μορφή που δίνεται από τον πίνακα Α.

BilinearFormFunction
BilinearFormFunction (A)

Επιστρέφει μια συνάρτηση που υπολογίζει δύο διανύσματα ως προς τη διγραμμική μορφή που δίνεται από το Α.

CharacteristicPolynomial
CharacteristicPolynomial (M)

Παραλλαγές: CharPoly

Δίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ως διάνυσμα. Δηλαδή, επιστρέφει τους συντελεστές του πολυωνύμου ξεκινώντας με τον σταθερό όρο. Αυτό είναι το πολυώνυμο που ορίστηκε από det(M-xI). Οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου είναι οι ιδιοτιμές του M. Δείτε επίσης CharacteristicPolynomialFunction.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

CharacteristicPolynomialFunction
CharacteristicPolynomialFunction (M)

Δίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ως συνάρτηση. Αυτό είναι το πολυώνυμο που ορίστηκε από το det(M-xI). Οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου είναι οι ιδιοτιμές του M. Δείτε επίσης CharacteristicPolynomial.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

ColumnSpace
ColumnSpace (M)

Δίνει έναν πίνακα βάσης για τον χώρο στηλών ενός πίνακα. Δηλαδή, επιστρέφει έναν πίνακα του οποίου οι στήλες είναι η βάση για τον χώρο στηλών του M. Αυτός είναι ο χώρος που καλύπτεται από τις στήλες του M.

See Wikipedia for more information.

CommutationMatrix
CommutationMatrix (m, n)

Επιστρέφει τον αντιμεταθετικό πίνακα K(m,n) που είναι ο μοναδικός πίνακας m*n επί m*n τέτοιος ώστε K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.') για όλους τους πίνακες Α m επί n.

CompanionMatrix
CompanionMatrix (p)

Συνοδός πίνακας ενός πολυωνύμου (ως διανύσματος).

ConjugateTranspose
ConjugateTranspose (M)

Συζυγής ανάστροφος πίνακας (συζυγής). Αυτός είναι ο ίδιος με τον τελεστή '.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

Convolution
Convolution (a,b)

Παραλλαγές: convol

Υπολογίζει τη συνέλιξη των δύο οριζόντιων διανυσμάτων.

ConvolutionVector
ConvolutionVector (a,b)

Υπολογίζει τη συνέλιξη των δύο οριζόντιων διανυσμάτων. Επιστρέφει αποτέλεσμα ως διάνυσμα του οποίου τα στοιχεία δεν προστίθεται μαζί.

CrossProduct
CrossProduct (v,w)

Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων στο R3 ως διάνυσμα στήλης.

See Wikipedia for more information.

DeterminantalDivisorsInteger
DeterminantalDivisorsInteger (M)

Get the determinantal divisors of an integer matrix.

DirectSum
DirectSum (M,N...)

Ευθύ άθροισμα των πινάκων.

See Wikipedia for more information.

DirectSumMatrixVector
DirectSumMatrixVector (v)

Ευθύ άθροισμα ενός διανύσματος πινάκων.

See Wikipedia for more information.

Eigenvalues
Eigenvalues (M)

Παραλλαγές: eig

Δίνει τις ιδιοτιμές ενός τετραγωνικού πίνακα. Προς το παρόν δουλεύει μόνο για πίνακες μεγέθους μέχρι 4 επί 4, ή για τριγωνικούς πίνακες (για τους οποίους οι ιδιοτιμές είναι στη διαγώνιο).

See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.

Eigenvectors
Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M, &eigenvalues)
Eigenvectors (M, &eigenvalues, &multiplicities)

Δίνει τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα. Προαιρετικά παίρνετε επίσης τις ιδιοτιμές και τις αλγεβρικές πολλαπλότητες. Προς το παρόν δουλεύει μόνο για πίνακες μεγέθους μέχρι 2 επί 2.

See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.

GramSchmidt
GramSchmidt (v,B...)

Εφαρμόζει τη διεργασία Gram-Schmidt (στις στήλες) ως προς το εσωτερικό γινόμενο που δίνεται από το B. Αν το B δεν δίνεται, τότε χρησιμοποιείται το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο. Το B μπορεί να είναι ή γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή. Τα διανύσματα θα γίνονται ορθοκανονικά ως προς το B.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

HankelMatrix
HankelMatrix (c,r)

Hankel matrix, a matrix whose skew-diagonals are constant. c is the first row and r is the last column. It is assumed that both arguments are vectors and the last element of c is the same as the first element of r.

See Wikipedia for more information.

HilbertMatrix
HilbertMatrix (n)

Πίνακας Χίλμπερτ τάξης n.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

Image
Image (T)

Δίνει την εικόνα (διάστημα στήλης) ενός γραμμικού μετασχηματισμού.

See Wikipedia for more information.

InfNorm
InfNorm (v)

Δίνει την απειρονόρμα ενός διανύσματος, μερικές φορές λέγεται νόρμα ελάχιστου άνω φράγματος ή νόρμα μεγίστου.

InvariantFactorsInteger
InvariantFactorsInteger (M)

Get the invariant factors of a square integer matrix.

InverseHilbertMatrix
InverseHilbertMatrix (n)

Αντίστροφος πίνακας Χίλμπερτ τάξης n.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

IsHermitian
IsHermitian (M)

Αν είναι ένας ερμιτιανός πίνακας. Δηλαδή, αν είναι ίσος με τον ανάστροφο συζυγή.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

IsInSubspace
IsInSubspace (v,W)

Ελέγχει αν ένα διάνυσμα είναι σε έναν υπόχωρο.

IsInvertible
IsInvertible (n)

Αν είναι ένας πίνακας (ή αριθμός) αντιστρέψιμος (ένας ακέραιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν είναι αντιστρέψιμος στους ακέραιους).

IsInvertibleField
IsInvertibleField (n)

Αν είναι ένας πίνακας (ή αριθμός) αντιστρέψιμος σε ένα πεδίο.

IsNormal
IsNormal (M)

Αν είναι ο M ένας κανονικός πίνακας. Δηλαδή, κάνει M*M' == M'*M.

See Planetmath or Mathworld for more information.

IsPositiveDefinite
IsPositiveDefinite (M)

Αν είναι το M ένας ερμιτιανός θετικά ορισμένος πίνακας. Δηλαδή, αν το HermitianProduct(M*v,v) είναι πάντα αυστηρά θετικό για κάθε διάνυσμα v. Ο M πρέπει να είναι τετραγωνικός και ερμιτιανός για να είναι θετικά ορισμένος. Ο έλεγχος που εκτελείται είναι ότι κάθε βασικός υποπίνακας έχει μία μη αρνητική ορίζουσα. (Δείτε HermitianProduct)

Σημειώστε ότι κάποιοι συγγραφείς (για παράδειγμα Mathworld) δεν απαιτούν ο M να είναι ερμιτιανός και τότε η συνθήκη είναι στο πραγματικό μέρος του εσωτερικού γινομένου, αλλά δεν παίρνουμε αυτήν την πλευρά. Αν θέλετε να εκτελέσετε αυτόν τον έλεγχο, ελέγξτε απλά το ερμητιανό μέρος του πίνακα M ως εξής: IsPositiveDefinite(M+M').

See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.

IsPositiveSemidefinite
IsPositiveSemidefinite (M)

Αν είναι ο M ένας ερμιτιανός θετικά ημιορισμένος πίνακας. Δηλαδή, αν το HermitianProduct(M*v,v) είναι πάντα μη αρνητικό για κάθε διάνυσμα v. Το M πρέπει να είναι τετραγωνικός και ερμιτιανός για να είναι θετικά ημιορισμένος. Ο έλεγχος που εκτελείται είναι ότι κάθε βασικός υποπίνακας έχει μια μη αρνητική ορίζουσα. (Δείτε HermitianProduct)

Σημειώστε ότι κάποιοι συγγραφείς δεν απαιτούν ο M να είναι ερμιτιανός και τότε η συνθήκη είναι στο πραγματικό μέρος του εσωτερικού γινομένου, αλλά δεν παίρνουμε αυτήν την πλευρά. Αν θέλετε να εκτελέσετε αυτόν τον έλεγχο, ελέγξτε απλά το ερμιτιανό μέρος του πίνακα M ως εξής: IsPositiveSemidefinite(M+M').

See Planetmath or Mathworld for more information.

IsSkewHermitian
IsSkewHermitian (M)

Αν είναι ο πίνακας λοξός ερμιτιανός. Δηάδή, αν είναι ο συζυγής ανάστροφος ίσος με τον αρνητικό του πίνακα.

See Planetmath for more information.

IsUnitary
IsUnitary (M)

Είναι ένας πίνακας μοναδιαίος; Δηλαδή, αν είναι οι M'*M and M*M' ίσοι στην ταυτότητα.

See Planetmath or Mathworld for more information.

JordanBlock
JordanBlock (n,lambda)

Παραλλαγές: J

Δίνει το μπλοκ Jordan που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή lambda με πολλαπλότητα n.

See Planetmath or Mathworld for more information.

Kernel
Kernel (T)

Δίνει τον πυρήνα (διάστημα κενού) ενός γραμμικού μετασχηματισμού.

(Δείτε NullSpace)

KroneckerProduct
KroneckerProduct (M, N)

Παραλλαγές: TensorProduct

Υπολογίζει το γινόμενο Κρόνεκερ (γινόμενο τανυστή σε τυπική βάση) δύο πινάκων.

See Wikipedia, Planetmath or Mathworld for more information.

Version 1.0.18 onwards.

LUDecomposition
LUDecomposition (A, L, U)

Get the LU decomposition of A, that is find a lower triangular matrix and upper triangular matrix whose product is A. Store the result in the L and U, which should be references. It returns true if successful. For example suppose that A is a square matrix, then after running:

genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

You will have the lower matrix stored in a variable called L and the upper matrix in a variable called U.

Αυτή είναι η ανάλυση LU ενός πίνακα γνωστό και ως Crout και/ή αναγωγή Σολεσκί. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Ο άνω τριγωνικός πίνακας χαρακτηρίζει μια διαγώνιο τιμών 1 (ένα). Αυτή δεν είναι η μέθοδος του Doolittle που χαρακτηρίζει τη διαγώνιο του 1 στον κάτω πίνακα.

Δεν έχουν όλοι οι πίνακες αναλύσεις LU, για παράδειγμα το [0,1;1,0] δεν έχει και αυτή η συνάρτηση επιστρέφει false σε αυτήν την περίπτωση και ορίζει L καιU σε null.

See Wikipedia, Planetmath or Mathworld for more information.

Minor
Minor (M,i,j)

Δίνει τον ελάσσονα i-j ενός πίνακα.

See Planetmath for more information.

NonPivotColumns
NonPivotColumns (M)

Επιστρέφει τις στήλες που δεν είναι οδηγούσες στήλες ενός πίνακα.

Norm
Norm (v,p...)

Παραλλαγές: norm

Δίνει τη νόρμα p (ή νόρμα 2 αν κανένα p δεν δίνεται) ενός διανύσματος.

NullSpace
NullSpace (T)

Δίνει τον μηδενικό χώρο ενός πίνακα. Δηλαδή, τον πυρήνα της γραμμικής απεικόνισης που απεικονίζει ο πίνακας. Αυτός επιστρέφεται ως ένας πίνακας του οποίου ο χώρος στηλών είναι ο μηδενικός χώρος του T.

See Planetmath for more information.

Nullity
Nullity (M)

Παραλλαγές: nullity

Δίνει την μηδενικότητα ενός πίνακα. Δηλαδή, επιστρέφει τη διάσταση του μηδενικού χώρου· η διάσταση του πυρήνα του M.

See Planetmath for more information.

OrthogonalComplement
OrthogonalComplement (M)

Δίνει του ορθογωνίου συμπληρώματος του χώρου στήλης.

PivotColumns
PivotColumns (M)

Επιστρέφει τις οδηγούσες στήλες ενός πίνακα, δηλαδή τις στήλες που έχουν ένα αρχικό 1 σε ανηγμένη μορφή κατά γραμμές. Επίσης επιστρέφει τη γραμμή που αυτό συμβαίνει.

Projection
Projection (v,W,B...)

Προβολή του διανύσματος v στον υπόχωρο W ως προς το δοσμένο εσωτερικό γινόμενο από το B. Αν το B δεν δίνεται, τότε το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο χρησιμοποιείται. Το B μπορεί ή να είναι γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση των δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή.

QRDecomposition
QRDecomposition (A, Q)

Δίνει την ανάλυση QR ενός τετραγωνικού πίνακα A, επιστρέφει τον άνω τριγωνικό πίνακα R και ορίζει το Q στον ορθογώνιο (μοναδιαίο) πίνακα. Το Q πρέπει να είναι μια αναφορά ή null, αν δεν θέλετε καμιά επιστροφή. Για παράδειγμα:

genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

Θα έχετε τον άνω τριγωνικό πίνακα αποθηκευμένο σε μια μεταβλητή που λέγεται R και τον ορθογώνιο (μοναδιαίο) πίνακα αποθηκευμένο στο Q.

See Wikipedia or Planetmath or Mathworld for more information.

RayleighQuotient
RayleighQuotient (A,x)

Επιστρέφει το πηλίκο Ρέιλι (λέγεται επίσης πηλίκο ή λόγος Ρέιλι-Ρίτζ) ενός πίνακα και ενός διανύσματος.

See Planetmath for more information.

RayleighQuotientIteration
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)

Βρίσκει τις ιδιοτιμές του A χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επανάληψης πηλίκου Ρέιλι. Το x είναι μια πρόβλεψη στο ιδιοδιάνυσμα και μπορεί να είναι τυχαία. Πρέπει να έχει μη μηδενικό φανταστικό μέρος, αν θα έχει κάποια πιθανότητα στην εύρεση μιγαδικών ιδιοτιμών. Ο κώδικας θα εκτελεστεί στις περισσότερες επαναλήψεις maxiter και θα επιστρέψει null αν δε μπορούμε να πάρουμε ένα σφάλμα του epsilon. Το vecref πρέπει να είναι null ή μια αναφορά σε μεταβλητή όπου το ιδιοδιάνυσμα πρέπει να αποθηκευτεί.

See Planetmath for more information on Rayleigh quotient.

Rank
Rank (M)

Παραλλαγές: rank

Δίνει την τάξη ενός πίνακα.

See Planetmath for more information.

RosserMatrix
RosserMatrix ()

Επιστρέφει τον πίνακα Ρόσερ, που είναι ένα κλασικό συμμετρικό πρόβλημα δοκιμής ιδιοτιμής.

Rotation2D
Rotation2D (angle)

Aliases: RotationMatrix

Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από το αρχικό στο R2.

Rotation3DX
Rotation3DX (angle)

Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα x.

Rotation3DY
Rotation3DY (angle)

Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα y.

Rotation3DZ
Rotation3DZ (angle)

Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα z.

RowSpace
RowSpace (M)

Δίνει έναν πίνακα βάσης για χώρο γραμμών ενός πίνακα.

SesquilinearForm
SesquilinearForm (v,A,w)

Υπολογίζει το (v,w) ως προς τη γραμμικο-ημιγραμμική μορφή που δίνεται από τον πίνακα Α.

SesquilinearFormFunction
SesquilinearFormFunction (A)

Επιστρέφει μια συνάρτηση που υπολογίζει δύο διανύσματα ως προς τη γραμμικο-ημιγραμμική μορφή που δίνεται από το Α.

SmithNormalFormField
SmithNormalFormField (A)

Επιστρέφει την κανονική μορφή Σμιθ ενός πίνακα για πεδία (θα τελειώνει με 1 στη διαγώνιο).

See Wikipedia for more information.

SmithNormalFormInteger
SmithNormalFormInteger (M)

Return the Smith normal form for square integer matrices over integers.

See Wikipedia for more information.

SolveLinearSystem
SolveLinearSystem (M,V,args...)

Επιλύει το γραμμικό σύστημα Mx=V, επιστρέφει τη λύση V αν υπάρχει μια μοναδική λύση, αλλιώς null. Δύο πρόσθετες παράμετροι αναφοράς μπορούν να χρησιμοποιηθούν προαιρετικά για να δώσουν τα ανηγμένα M και V.

ToeplitzMatrix
ToeplitzMatrix (c, r...)

Επιστρέφει τον πίνακα Toeplitz που κατασκευάστηκε με δεδομένη την πρώτη στήλη c και (προαιρετικά) την πρώτη γραμμή r. Αν δίνεται μόνο η στήλη c, τότε είναι συζυγής και η μη συζυγής έκδοση χρησιμοποιείται για να δώσει η πρώτη γραμμή τον ερμιτιανό πίνακα (αν το πρώτο στοιχείο είναι πραγματικός φυσικά).

See Wikipedia or Planetmath for more information.

Trace
Trace (M)

Παραλλαγές: trace

Υπολογίζει το ίχνος ενός πίνακα. Δηλαδή, το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

Transpose
Transpose (M)

Ανάστροφος ενός πίνακα. Αυτός είναι ο ίδιος με τον τελεστή .'.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

VandermondeMatrix
VandermondeMatrix (v)

Παραλλαγές: vander

Επιστρέφει τον πίνακα Vandermonde.

See Wikipedia for more information.

VectorAngle
VectorAngle (v,w,B...)

Η γωνία των δύο διανυσμάτων ως προς το εσωτερικό γινόμενο που δίνει ο B. Αν ο B δεν δίνεται, τότε το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο χρησιμοποιείται. Ο B μπορεί είτε να είναι γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή.

VectorSpaceDirectSum
VectorSpaceDirectSum (M,N)

Το ευθύ άθροισμα των διαστημάτων διανύσματος Μ και Ν.

VectorSubspaceIntersection
VectorSubspaceIntersection (M,N)

Τομή των υποχώρων που δίνονται από Μ και Ν.

VectorSubspaceSum
VectorSubspaceSum (M,N)

Το άθροισμα των διανυσματικών χώρων M και N, δηλαδή {w | w=m+n, m στο M, n στο N}.

adj
adj (m)

Παραλλαγές: Adjugate

Δίνει τον κλασικό συζυγή ενός πίνακα.

cref
cref (M)

Παραλλαγές: CREFColumnReducedEchelonForm

Υπολογίζει την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή κατά στήλες.

det
det (M)

Παραλλαγές: Determinant

Δίνει την ορίζουσα ενός πίνακα.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

ref
ref (M)

Παραλλαγές: REFRowEchelonForm

Δίνει την μορφή κλιμακωτής γραμμής ενός πίνακα. Δηλαδή, εφαρμόζει την απαλοιφή Γκάους, αλλά όχι την πίσω πρόσθεση στο M. Οι οδηγούσες γραμμές διαιρούνται για να κάνουν όλους τους οδηγούς 1.

See Wikipedia or Planetmath for more information.

rref
rref (M)

Παραλλαγές: RREFReducedRowEchelonForm

Δίνει τη ανηγμένη κλιμακωτή μορφή κατά γραμμές ενός πίνακα. Δηλαδή, εφαρμόζει την απαλοιφή Γκάους μαζί με την πίσω πρόσθεση στο M.

See Wikipedia or Planetmath for more information.